- 08.01.2020
- Автор Бардалим Юлия Алексеевна
урок: Задание пространственных геометрических фигур уравнениями и неравенствами. Уравнение плоскост
Организационный момент – 1 – 2 мин.
Приветствие учащихся.
Отметить отсутствующих.
- II. Опрос по домашнему заданию
1.Уравнение прямой на плоскости.
2.Уравнение окружности.
- Расстояние между точками в пространстве.
- Координаты середины отрезка.
III. Объяснение нового материала. Краткий конспект.
Множество всех точек пространства, находящихся на данном расстоянии R от данной точки С, называется сферой радиуса R с центром в точке С.
Другими словами, сфера радиуса R с центром в точке С — это множество всех точек М пространства, удовлетворяющих условию
|CM| = R. (1)
Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через ее центр, называется диаметром сферы. Очевидно, что длина диаметра сферы радиуса R равна 2R.
Если в пространстве задана некоторая прямоугольная декартова система кородинат и
(а; b; с) — координаты точки С, а (х; у; z) — координаты точки М, то условие (1) принимает вид
√(x — a)2 + (y — b)2 + (z — c)2 = R.
Отсюда следует, что сфера радиуса R с центром в точке С (а; b; с) имеет уравнение
(x — a)2 + (y — b)2 + (z — c)2 = R2 (2)
B частности, сфера радиуса R с центром в начале координат имеет уравнение
х2 + у2 + z2 = R2 (3)
Множество всех точек пространства, расстояние которых от данной точки С не превосходит данного числа R, называется шаром радиуса R с центром в точке С. Иначе, шар радиуса R с центром в точке С — это множество всех точек М пространства, удовлетворяющих условию
|CM| < R.
В координатах это условие имеет вид:
(x — a)2 + (y — b)2 + (z — c)2 < R2.
Сфера радиуса R с центром в точке С называется поверхностью соответствующего шара. Про нее говорят, что она ограничивает шар радиуса R с центром в точке С.
Вывод:
Уравнение сферы с центром в точке О(0;0;0)имеет вид:
x2 + y2 +z2 =R2 ;
Уравнение сферы с центром в точке А (a;b; c) имеет вид:
( x — a)2 +( y — b)2 +(z — c)2 =R2;
Уравнение плоскости перпендикулярной вектору n(a;b; c) имеет вид:
ax + by + cz + d = 0
- IV. Закрепление нового материала:
Задача 1. Составить уравнение сферы радиуса R = 5 с центром в начале координат.
Решение: Непосредственной подстановкой значения радиуса в уравнение (3) получим х2 + у2 + z2 = 25.
Задача 2. Написать уравнение сферы с центром в точке С (2; —3; 5) и радиусом, равным 6.
Решение: Подставив значение координат точки С и значение радиуса в уравнение (2), получим (x — 2)2 + (y + 3)2 + (z — 5)2 = 36.
Задача 3. Найти центр и радиус сферы
(х + 4)2 + (y — 3)2 + z2 =100.
Решение: Сравнивая данное уравнение с уравнением сферы (2), видим, что
а = — 4, b = 3, с = 0, R = 10. Следовательно, С(—4; 3; 0), R = 10.
Задача 4. Доказать, что уравнение
х2 + у2 + z2 — 2х + 4у — 6z + 5 = 0 является уравнением сферы.
Решение: Преобразуем левую часть данного уравнения, выделив квадраты двучленов, содержащих соответственно х, у и z:
х2 — 2х + у2 + 4у + z2 — 6z + 5 =
= (x — 1)2 — 1 + (y + 2)2 — 4 + (z — 3)2 — 9 + 5 =
= (x — 1)2 + (y + 2)2 + (z — 3)2—9.
Следовательно, данная поверхность имеет уравнение
(x — 1)2 + (y + 2)2 + (z — 3)2 = 9.
Это уравнение представляет собой уравнение сферы с центром в точке С(1; —2; 3) и радиусом R = 3.
Задание на дом §23 №179
Автор публикации
